Николай Минаев родился в 1915 году в деревне Лыково (ныне — Большое Лыково, Мценский район Орловской области). Окончил первый курс финансово-экономического института, работал бухгалтером.
В октябре 1936 года Минаев был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С октября 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. В июле 1943 года окончил Тбилисское горно-артиллерийское училище. К октябрю 1944 года майор Николай Минаев командовал дивизионом 349-го артиллерийского полка 119-й стрелковой дивизии 4-й ударной армии 1-го Прибалтийского фронта. Отличился во время освобождения Литовской ССР. 9 октября 1944 года дивизион Минаева отражал контратаку прорвавшихся в советский тыл немецких танковых частей. В критический момент боя Минаев вызвал огонь на себя и погиб при артобстреле.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за «мужество и героизм, проявленные при освобождении Литвы» майор Николай Минаев посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза. Был также награждён орденами Красного Знамени, Отечественной войны 1-й и 2-й степеней.
В честь Минаева названа улица в Мценске, установлены бюсты в Мценске и Лыково, памятный знак на месте гибели.